Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale

In questo articolo, vedremo come risolvere i problemi di movimento circolare verticale. I principi usati per risolvere questi problemi sono gli stessi usati per risolvere problemi che implicano accelerazione centripeta e forza centripeta. A differenza dei cerchi orizzontali, le forze che agiscono sui cerchi verticali variano mentre girano. Considereremo due casi per oggetti che si muovono in cerchi verticali: quando gli oggetti si muovono a velocità costante e quando si muovono a velocità diverse.

Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale per oggetti che viaggiano a velocità costante

Se un oggetto viaggia a una velocità costante in un cerchio verticale, quindi la forza centripeta sull'oggetto, rimane lo stesso. Ad esempio, pensiamo a un oggetto con massa che è oscillato in un cerchio verticale attaccandolo a una stringa di lunghezza . Ecco, allora, è anche il raggio per il movimento circolare. Ci sarà una tensione agendo sempre lungo lo spago, puntato verso il centro del cerchio. Ma il valore di questa tensione varierà costantemente, come vedremo in seguito.

Movimento circolare verticale di un oggetto a velocità costante v

Consideriamo l'oggetto quando è in cima e in fondo al suo percorso circolare. Sia il peso dell'oggetto, , e la forza centripeta (puntata al centro del cerchio) rimane la stessa.

Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale - Tensione dell'oggetto velocità costante in alto e in basso

La tensione è maggiore quando l'oggetto si trova in basso. È qui che è più probabile che la stringa si spezzi.

Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale per oggetti che viaggiano a una velocità variabile

Per questi casi, consideriamo il cambiamento di energia dell'oggetto mentre viaggia intorno al cerchio. Nella parte superiore, l'oggetto ha la maggior parte dell'energia potenziale. Quando l'oggetto scende, perde energia potenziale, che viene convertita in energia cinetica. Ciò significa che l'oggetto accelera quando scende.

Supponiamo che un oggetto collegato a una stringa si muova in un cerchio verticale con una velocità variabile tale che, in cima, l'oggetto abbia appena abbastanza velocità per mantenere il suo percorso circolare. Di seguito, ricaveremo espressioni per la velocità minima di questo oggetto in alto, la velocità massima (quando è in basso) e la tensione della corda quando è in basso.

In alto, la forza centripeta è verso il basso e  . L'oggetto avrà appena abbastanza velocità per mantenere il suo percorso circolare se la corda sta per perdere tempo quando è in cima. Per questo caso, la tensione della corda è quasi 0. Inserendo questo nella equazione forza centripeta, avremo . Poi, .

Quando l'oggetto è in basso, la sua energia cinetica è maggiore. Il guadagno in energia cinetica è uguale alla perdita di energia potenziale. L'oggetto cade attraverso un'altezza di  quando raggiunge il fondo, quindi il guadagno in energia cinetica è . Poi,

.

Dal nostro , noi abbiamo

 Successivamente, guardiamo la tensione della corda in basso. Qui, la forza centripeta è diretta verso l'alto. Allora abbiamo

. sostituendo , noi abbiamo .

Semplificando ulteriormente, finiamo con:

.

Problemi di movimento circolare verticale - Esempio

Secchi d'acqua oscillanti sopra la testa

Un secchio d'acqua può essere ruotato sopra la testa senza che l'acqua cada se viene spostata ad una velocità sufficientemente grande. Il peso  dell'acqua sta cercando di tirare giù l'acqua; tuttavia, la forza centripeta  sta cercando di mantenere l'oggetto nel percorso circolare. La forza centripeta stessa è composta dal peso più la normale forza di reazione che agisce sull'acqua. L'acqua rimarrà sul percorso circolare fino a quando .

Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale - Oscillare un secchio d'acqua

Se la velocità è bassa, così , quindi non tutto il peso è "esaurito" per creare la forza centripeta. L'accelerazione verso il basso è maggiore dell'accelerazione centripeta e quindi l'acqua cadrà.

Lo stesso principio viene utilizzato per mantenere gli oggetti da cadere quando passano attraverso movimenti "loop the loop" come, ad esempio, sulle montagne russe e negli airshow dove piloti acrobatici volano con il loro aereo in cerchi verticali, con gli aeroplani che viaggiano "al rialzo" giù "quando raggiungono la cima.

 Esempio 1

La ruota panoramica di Londra è una delle più grandi ruote panoramiche sulla Terra. Ha un diametro di 120 m, e ruota ad una velocità di circa 1 rotazione completa per 30 minuti. Dato che si muove a velocità costante, Trova

a) la forza centripeta su un passeggero di massa di 65 kg

b) la forza di reazione dal sedile quando il passeggero si trova nella parte superiore del cerchio

c) la forza di reazione dal sedile quando il passeggero si trova nella parte inferiore del cerchio

Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale - Esempio 1

Nota: in questo particolare esempio, la forza di reazione cambia molto poco, poiché la velocità angolare è piuttosto lenta. Tuttavia, si noti che le espressioni utilizzate per calcolare le forze di reazione in alto e in basso sono diverse. Ciò significa che le forze di reazione sarebbero considerevolmente differenti quando sono coinvolte velocità angolari maggiori. La più grande forza di reazione si sentirebbe in fondo al cerchio.

Problemi di movimento circolare verticale - Esempio: London Eye

Esempio 2

Un sacchetto di farina con una massa di 0,80 kg viene ruotato su un cerchio verticale con una corda lunga 0,70 m. La velocità della borsa varia mentre viaggia intorno al cerchio.

a) Mostra che una velocità minima di 3,2 m s^-1 è sufficiente per mantenere la borsa nell'orbita circolare.

b) Calcola la tensione della corda quando la borsa si trova nella parte superiore del cerchio.

c) Trova la velocità della borsa in un istante quando la corda si è spostata verso il basso di un angolo di 65^o dall'alto.

Come risolvere i problemi di movimento circolare verticale - Esempio 2