Come risolvere i problemi di movimento del proiettile

proiettili sono movimenti che coinvolgono due dimensioni. Per risolvere i problemi di movimento del proiettile, prendere due direzioni perpendicolari tra loro (tipicamente, usiamo le direzioni "orizzontale" e "verticale") e scrivere tutte le quantità vettoriali (spostamenti, velocità, accelerazioni) come componenti lungo ciascuna di queste direzioni. In proiettili, il movimento verticale è indipendente dal movimento orizzontale. Pertanto, le equazioni del moto possono essere applicate separatamente ai movimenti orizzontali e verticali.

Risolvere i problemi di movimento del proiettile nelle situazioni in cui vengono lanciati oggetti sulla Terra, l'accelerazione dovuta alla gravità, , agisce sempre verticalmente verso il basso. Se trascuriamo gli effetti della resistenza aerea, allora l'accelerazione orizzontale è 0. In questo caso, la componente orizzontale della velocità del proiettile rimane invariata.

Quando un proiettile lanciato con un angolo raggiunge l'altezza massima, la sua verticale componente di velocità è 0 e quando il proiettile raggiunge lo stesso livello da cui è stato lanciato, il suo verticale lo spostamento è 0. 

Nello schema sopra, ho mostrato alcune quantità tipiche che dovresti sapere per risolvere i problemi di movimento del proiettile.  è la velocità iniziale e , è la velocità finale. Gli abbonati e fare riferimento alle componenti orizzontali e verticali di queste velocità, separatamente.

Nel fare i seguenti calcoli, prendiamo verso l'alto direzione per essere positivo nella direzione verticale, e in orizzontale, prendiamo vettori a destra essere positivo.

Consideriamo lo spostamento verticale della particella nel tempo. La velocità verticale iniziale è . In un dato momento, lo spostamento verticale , è dato da . Se vogliamo disegnare un grafico di vs. , scopriamo che il grafico è una parabola perché ha una dipendenza da . cioè, il percorso preso dall'oggetto è parabolico.

A rigor di termini, a causa della resistenza dell'aria, il percorso non è parabolico. Piuttosto, la forma diventa più "schiacciata", con la particella che diventa più piccola.

Inizialmente, la velocità verticale dell'oggetto diminuisce poiché la Terra sta cercando di attirarla verso il basso. Alla fine, la velocità verticale raggiunge 0. L'oggetto ha ora raggiunto l'altezza massima. Quindi, l'oggetto inizia a muoversi verso il basso, la sua velocità verso il basso aumenta mentre l'oggetto viene accelerato verso il basso dalla gravità.

Per un oggetto lanciato da terra a velocità , proviamo a trovare il tempo necessario affinché l'oggetto raggiunga la cima. Per fare ciò, consideriamo il movimento della palla da quando è stato lanciato a quando raggiunge l'altezza massima.

La componente verticale della velocità iniziale è . Quando l'oggetto raggiunge la cima, la velocità verticale dell'oggetto è 0. cioè. . Secondo l'equazione , il tempo impiegato per raggiungere la cima = .

Se non c'è resistenza aerea, allora abbiamo una situazione simmetrica, in cui il tempo impiegato dall'oggetto per raggiungere il suolo dalla sua altezza massima è uguale al tempo impiegato dall'oggetto per raggiungere l'altezza massima dal suolo in primo luogo . Il tempo totale che l'oggetto trascorre in aria è poi, .

Se consideriamo il movimento orizzontale dell'oggetto, possiamo trovare quello dell'oggetto gamma. Questa è la distanza totale percorsa dall'oggetto prima che atterri sul terreno. Orizzontalmente, diventa (perché l'accelerazione orizzontale è 0). Sostituendo per , noi abbiamo: .

Esempio 1

Una persona in piedi in cima a un edificio alto 30 m lancia una roccia orizzontalmente dal bordo dell'edificio alla velocità di 15 m s^-1. Trova

a) il tempo impiegato dall'oggetto per raggiungere il suolo,

b) quanto lontano dall'edificio atterra, e

c) la velocità dell'oggetto quando raggiunge il suolo.

La velocità orizzontale dell'oggetto non cambia, quindi non è utile da sola per calcolare il tempo. Conosciamo lo spostamento verticale dell'oggetto dalla sommità dell'edificio alla terra. Se riusciamo a trovare il tempo impiegato dall'oggetto per raggiungere il suolo, possiamo quindi scoprire quanto l'oggetto dovrebbe muoversi orizzontalmente durante quel tempo.

Quindi, iniziamo con il movimento verticale da quando è stato lanciato quando raggiunge il suolo. L'oggetto viene lanciato orizzontalmente, quindi l'iniziale verticale la velocità dell'oggetto è 0. L'oggetto subirebbe un'accelerazione verticale costante verso il basso, quindi Signorina^-2. Lo spostamento verticale per l'oggetto è m. Ora usiamo , con . Così, .

Per risolvere la parte b) usiamo il movimento orizzontale. Qui, abbiamo 15 m s^-1, 6,12 s, e 0. Perché l'accelerazione orizzontale è 0, l'equazione diventa o, . Questo è quanto più lontano dall'edificio sarebbe atterrato l'oggetto.

Per risolvere la parte c) dobbiamo conoscere le velocità verticali e orizzontali finali. Conosciamo già la velocità orizzontale finale, Signorina^-1. Dobbiamo nuovamente considerare il movimento verticale per conoscere la velocità verticale finale dell'oggetto, . Lo sappiamo , -30 me Signorina^-2. Ora usiamo , dandoci . Poi, . Ora abbiamo le componenti orizzontali e verticali della velocità finale. La velocità finale è, quindi, Signorina^-1.

Esempio 2

Un calcio è calciato da terra ad una velocità di 25 m s^-1, con un angolo di 20^o a terra. Supponendo che non ci sia resistenza aerea, trova quanto più lontano sarà la pallina.

Questa volta, abbiamo anche una componente verticale per la velocità iniziale. Questo è,  Signorina^-1. La velocità orizzontale iniziale è  Signorina^-1.

Quando la palla atterra, ritorna allo stesso livello verticale. Quindi possiamo usare , con . Questo ci dà . Risolvendo l'equazione quadratica, otteniamo un tempo di  0 so 1.74 s. Dal momento che stiamo cercando il momento in cui la palla terre, prendiamo  1,74 s.

Orizzontalmente, non c'è accelerazione. Quindi possiamo sostituire il tempo di atterraggio della palla nell'equazione del moto orizzontale:  m. Questo è quanto lontano atterrerà la palla.