Come calcolare la probabilità binomiale

La distribuzione binomiale è una delle distribuzioni di probabilità elementari per le variabili casuali discrete utilizzate nella teoria e statistica delle probabilità. Viene assegnato il nome perché ha il coefficiente binomiale che è coinvolto in ogni calcolo di probabilità. Pesa il numero di combinazioni possibili per ogni configurazione.

Considerare un esperimento statistico con ogni evento che ha due possibilità (successo o fallimento) e p probabilità di successo. Inoltre, ogni evento è indipendente l'uno dall'altro. Un singolo evento di tale natura è noto come un processo di Bernoulli. Le distribuzioni binomiali sono applicate alla sequenza successiva di prove di Bernoulli. Ora, diamo un'occhiata al metodo per trovare la probabilità binomiale.

Come trovare la probabilità binomiale

 Se X è il numero di successi da n (quantità finita) prove indipendenti di Bernoulli, con probabilità di successo p, quindi la probabilità di X I successi nell'esperimento sono dati da,

ⁿC_X è chiamato il coefficiente binomiale.

X si dice che sia distribuito binomialmente con parametri p e n, spesso indicato dalla notazione Bin (n, p).

La media e la varianza della distribuzione binomiale sono date in termini di parametri n e p. 

La forma della curva di distribuzione binomiale dipende anche dai parametri n e p. quando n è piccolo, la distribuzione è approssimativamente simmetrica per i valori pRange.5 portata e molto inclinata quando p è nell'intervallo 0 o 1. quando n è grande, la distribuzione diventa più liscia e simmetrica con inclinazione evidente quando p è nel range 0 o 1 estremo. Nel seguente diagramma, l'asse x rappresenta il numero di prove e l'asse y indica la probabilità. 

  Come calcolare la probabilità binomiale - Esempi

1. Se una moneta parziale viene lanciata 5 volte in successione e la probabilità di successo è 0,3, trova le probabilità nei seguenti casi.

un) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Media della distribuzione

e) Varianza della distribuzione

Dai dettagli dell'esperimento possiamo dedurre che le distribuzioni di probabilità sono di natura binomiale con 5 studi successivi e indipendenti con probabilità di successo 0.3. Pertanto n = 5 ep = 0.3. 

un) P (X = 5) = probabilità di ottenere successi (teste) per tutte e cinque le prove

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0.3)⁵ (1 - 0.3)^{5 - 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = probabilità di ottenere quattro o meno numeri di successi durante l'esperimento 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0,00243 = 0,9997

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Per calcolare la probabilità binomiale di ottenere solo quattro successi (P (X) = 4) abbiamo,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0.3)⁴ (1 - 0.3)^5-4 = 5 × 0,0081 × (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

d)  Media = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Varianza = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05