Differenza tra associativa e commutativa

Associativo vs Commutativo
 

Nella nostra vita di tutti i giorni, dobbiamo usare i numeri ogni volta che abbiamo bisogno di ottenere una misura di qualcosa. Al supermercato, alla stazione di servizio e persino in cucina, dobbiamo aggiungere, sottrarre e moltiplicare due o più quantità. Dalla nostra pratica, eseguiamo questi calcoli abbastanza facilmente. Non ci accorgiamo mai o chiediamo perché facciamo queste operazioni in questo modo particolare. O perché questi calcoli non possono essere fatti in un modo diverso. La risposta è nascosta nel modo in cui queste operazioni sono definite nel campo matematico dell'algebra.

In algebra, un'operazione che coinvolge due grandezze (come l'aggiunta) è definita come un'operazione binaria. Più precisamente è un'operazione tra due elementi di un insieme e questi elementi sono chiamati "operando". Molte operazioni in matematica incluse le operazioni aritmetiche menzionate in precedenza e quelle incontrate nella teoria degli insiemi, nell'algebra lineare e nella logica matematica possono essere definite come operazioni binarie.

Esiste una serie di regole che governano una specifica operazione binaria. Le proprietà associative e commutative sono due proprietà fondamentali delle operazioni binarie.

Maggiori informazioni sulla proprietà commutativa

Supponiamo che un'operazione binaria, denotata dal simbolo ⊗, venga eseguita sugli elementi UN e B. Se l'ordine degli operandi non influisce sul risultato dell'operazione, l'operazione viene detta commutativa. cioè se UN ⊗ B = B ⊗ UN allora l'operazione è commutativa.

L'aggiunta e la moltiplicazione delle operazioni aritmetiche sono commutative. L'ordine dei numeri sommati o moltiplicati insieme non influisce sulla risposta finale:

UN + B = B + UN     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

UN × B = B × UN     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Ma nel caso del cambio di divisione nell'ordine si dà il reciproco dell'altro, e in sottrazione il cambiamento dà il negativo dell'altro. Perciò,

UN - B ≠ B - UN     ⇒ 4 - 5 = -1 e 5 - 4 = 1

UN ÷ B ≠ B ÷ UN     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 e 5 ÷ 4 = 1,25 [in questo caso UN,B ≠ 1 e 0]

In effetti, la sottrazione è detta anti-commutativa; dove UN - B = - (B - UN).

Inoltre, i connettivi logici, la congiunzione, la disgiunzione, l'implicazione e l'equivalenza sono anch'essi commutativi. Le funzioni di verità sono anche commutative. L'unione e l'intersezione delle operazioni impostate sono commutative. Inoltre, l'addizione e il prodotto scalare dei vettori sono commutativi.

Ma la sottrazione vettoriale e il prodotto vettoriale non sono commutativi (il prodotto vettoriale di due vettori è anti-commutativo). L'addizione matrice è commutativa, ma la moltiplicazione e la sottrazione non sono commutative. (La moltiplicazione di due matrici può essere commutativa in casi speciali, come la moltiplicazione di una matrice con la sua inversa o la matrice di identità, ma sicuramente le matrici non sono commutative se le matrici non sono della stessa dimensione)

Maggiori informazioni sulla proprietà associativa

Si dice che un'operazione binaria è associativa se l'ordine dell'esecuzione non influisce sul risultato quando sono presenti due o più occorrenze dell'operatore. Considera gli elementi A, B e C e l'operazione binaria ⊗. Si dice che l'operazione ⊗ sia associativa se

UN ⊗ B ⊗ C = UN ⊗ (B ⊗ C) = (UN ⊗ B) ⊗ C

Dalle funzioni aritmetiche di base, solo l'addizione e la moltiplicazione sono associative.

UN + (B + C) = (UN + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

UN × ((B × C) = (UN × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

La sottrazione e la divisione non sono associative;

UN - (B - C) ≠ (UN - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 e (5 - 4) - 3 = -2

UN ÷ (B ÷ C) ≠ (UN ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 e (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666

La disgiunzione, la congiunzione e l'equivalenza dei connettivi logici sono associative, come pure l'unione e l'intersezione delle operazioni impostate. La matrice e l'aggiunta vettoriale sono associative. Il prodotto scalare dei vettori è associativo, ma il prodotto vettoriale non lo è. La moltiplicazione della matrice è associativa solo in circostanze particolari.

Qual è la differenza tra Commutativo e Proprietà associativa?

• Sia la proprietà associativa che la proprietà commutativa sono proprietà speciali delle operazioni binarie e alcuni li soddisfano e altri no.

• Queste proprietà possono essere viste in molte forme di operazioni algebriche e altre operazioni binarie in matematica, come l'intersezione e l'unione nella teoria degli insiemi o i connettivi logici.

• La differenza tra commutativo e associativo è che la proprietà commutativa afferma che l'ordine degli elementi non cambia il risultato finale mentre gli stati delle proprietà associative, che l'ordine in cui viene eseguita l'operazione, non influisce sulla risposta finale.