Come trovare il centro di massa

Centro di massa - Definizione

Il punto in cui l'intera massa di un corpo o di un sistema può essere considerato concentrato è noto come il centro di massa. In altre parole, è il punto in cui la massa totale del corpo o del sistema ha lo stesso effetto quando si concentra su una massa puntiforme.

Calcolo del centro di massa

Un corpo rigido ha una distribuzione di massa continua. Un sistema di masse può avere una distribuzione di massa continua o discreta. Per comprendere meglio il concetto, consideriamo un sistema di masse a due punte m₁ e m₂ posizionato a (x₁,y₁) e (x₂,y₂).

Il centro di massa del sistema sarà dato dalle coordinate (x_CENTIMETRO,y_CENTIMETRO) ottenuto dalla seguente formula. 

Se vengono fornite anche le coordinate z, è possibile ottenere le coordinate z del centro di massa con lo stesso metodo. Il centro di massa divide internamente la distanza tra i due punti e la distanza da CM a ciascuna massa (r) è inversamente proporzionale alla massa (m). cioè rα1 / m. Pertanto, la seguente relazione vale per qualsiasi sistema di massa a due punti. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. Il risultato per le masse di due punti può essere esteso a molti sistemi di particelle come segue. Se le coordinate della particella m_io sono dati da (x_io,y_io ) quindi le coordinate del centro di massa del sistema a molte particelle sono date da, 

 

Una distribuzione di massa continua può essere approssimata come una raccolta di masse infinitesimali. Pertanto, prendendo i casi limite dei risultati di cui sopra fornisce le coordinate del centro di massa.

Se l'oggetto ha una distribuzione di massa uniforme (densità uniforme) e un oggetto geometrico regolare, il centro di massa si trova al centro geometrico dell'oggetto. Va anche notato che il centro di massa (CM) e il centro di gravità (CG) sono usati come sinonimi nella maggior parte delle situazioni. Tuttavia, sono diversi e coincidono solo quando il campo gravitazionale che agisce sul corpo o sul sistema è uniforme. Altrimenti, il centro di massa e il centro di gravità sono separati.

Questo è vero per tutti gli oggetti nel campo gravitazionale terrestre. Tuttavia, la differenza nelle posizioni del centro di massa e del centro di gravità è troppo piccola per gli oggetti piccoli, ma per oggetti di grandi dimensioni, soprattutto oggetti alti come un razzo sulla sua rampa di lancio, vi è una significativa separazione tra il centro di massa e centro di gravità.

Come trovare il centro di massa - Esempio

Centro di massa Esempio 01. Le masse m, 3m, 4m e 6m si trovano rispettivamente a coordinate (2, -6), (4,0), (- 1,3) e (-4, -4). Trova il centro di massa del sistema. 

Center of Mass Example 02. La Luna orbita a 385000 km dal centro della terra. Se la massa della luna è 7,3477 × 10²² kg o 0,012300 della massa terrestre, trova la distanza dal centro della massa del sistema Terra e Luna, dal centro della terra.

Dalla relazione r₁/ r₂ = m₂/ m₁ possiamo derivare quella r_Terra/ r_Luna = m_Luna/ m_Terra . Poiché l'orbita della luna è di 385000 km e considerando i rapporti disponibili, la distanza dal centro della massa dal centro della terra è

r_Terra/ (R_Luna+r_Terra ) × 385000 km = m_Luna/ (M_Terra+m_Luna ) × 385000 km.

Sostituendo valori e semplificazione si ottiene 0,012300 / (1 + 0,012300) × 385000 km = 4677,96 km (Qui la massa della luna viene considerata come una frazione della massa terrestre, cioè m_Luna/ m_Terra = 0,0123)

La separazione è significativa (1,25% dell'orbita lunare) perché la luna ha una massa considerevole, ma per oggetti più piccoli come un'auto, il rapporto m_auto/ m_Terra è zero per tutti i calcoli pratici.