Differenza tra Riemann Integral e Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

L'integrazione è un argomento principale nel calcolo. In un certo senso, l'integrazione può essere vista come il processo inverso di differenziazione. Quando si modellano i problemi del mondo reale, è facile scrivere espressioni che coinvolgono derivati. In una tale situazione, è richiesta l'operazione di integrazione per trovare la funzione, che ha dato la derivata particolare.

Da un altro punto di vista, l'integrazione è un processo che riassume il prodotto di una funzione ƒ (x) e δx, dove δx tende ad essere un certo limite. Questo è il motivo per cui utilizziamo il simbolo di integrazione come ∫. Il simbolo ∫ è infatti ciò che otteniamo allungando la lettera s per fare riferimento alla somma.

Riemann Integral

Considera una funzione y = ƒ (x). L'integrale di y tra un e B, dove un e B appartiene a un insieme x, è scritto come _B∫^unƒ (x) dx = [F(X)]_un→B = F(B) - F(un). Questo è chiamato un integrale definito della funzione a valore singolo e continuo y = ƒ (x) tra a e b. Questo dà l'area sotto la curva tra un e B. Questo è anche chiamato integrale di Riemann. L'integrale di Riemann è stato creato da Bernhard Riemann. L'integrale di Riemann di una funzione continua si basa sulla misura di Jordan, pertanto, viene anche definito come il limite delle somme di Riemann della funzione. Per una funzione a valori reali definita su un intervallo chiuso, l'integrale di Riemann della funzione rispetto a una partizione x₁, X₂,… , X_n definito nell'intervallo [a, b] e t₁, t₂,..., t_n, dove x_io ≤ t_io ≤ x_{i + 1} per ogni i ε 1, 2, ..., n, la somma di Riemann è definita come Σ_{i = o a n-1} ƒ (t_io)(X_{i + 1} - X_io).

Lebesgue Integral

Lebesgue è un altro tipo di integrale, che copre un'ampia varietà di casi rispetto all'integrale di Riemann. L'integrale di lebesgue fu introdotto da Henri Lebesgue nel 1902. L'integrazione di Legesgue può essere considerata una generalizzazione dell'integrazione di Riemann.

Perché abbiamo bisogno di studiare un altro integrale?

Consideriamo la funzione caratteristica ƒ_{A (x) = 0 se, x non ε A}^{1 se, x ε A} su un insieme A. Quindi combinazione lineare finita di funzioni caratteristiche, che è definita come F(x) = Σ a_ioƒE_io(x) è chiamata la semplice funzione if E_io è misurabile per ogni i L'integrale di Lebesgue di F(x) finito E è denotato da _E∫ ƒ (x) dx. La funzione F(x) non è integrabile con Riemann. Pertanto, l'integrale di Lebesgue è l'integrale di Riemann, che ha alcune restrizioni sulle funzioni da integrare.