Differenza tra equazione lineare e equazione quadratica

Equazione lineare vs equazione quadratica

In matematica, le equazioni algebriche sono equazioni che si formano usando i polinomi. Se esplicitamente scritte, le equazioni saranno della forma P (X) = 0, dove X è un vettore di n variabili sconosciute e P è un polinomio. Ad esempio, P (x, y) = x⁴ + y³ + X²y + 5 = 0 è un'equazione algebrica di due variabili scritte esplicitamente. Inoltre, (x + y)³= 3x²y - 3zy⁴ è un'equazione algebrica, ma in forma implicita. Prenderà la forma Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, una volta scritto esplicitamente.

Una caratteristica importante di un'equazione algebrica è il suo grado. È definito come la massima potenza dei termini che si verificano nell'equazione. Se un termine consiste di due o più variabili, la somma degli esponenti di ciascuna variabile sarà considerata come il potere del termine. Osserva che secondo questa definizione P (x, y) = 0 è di grado 4 mentre Q (x, y, z) = 0 è di grado 5.

Le equazioni lineari e le equazioni quadratiche sono due diversi tipi di equazioni algebriche. Il grado dell'equazione è il fattore che li differenzia dal resto delle equazioni algebriche.

Cos'è un'equazione lineare?

Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1. Ad esempio, 4x + 5 = 0 è un'equazione lineare di una variabile. x + y + 5z = 0 e 4x = 3w + 5y + 7z sono equazioni lineari di 3 e 4 variabili rispettivamente. In generale, un'equazione lineare di n variabili assumerà la forma m₁X₁ +m₂X₂ +... + m_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Ecco, x_iosono le variabili sconosciute, m_io's eb sono numeri reali in cui ciascuno di m_io è diverso da zero.

Tale equazione rappresenta un iper piano nello spazio euclideo n-dimensionale. In particolare, un'equazione lineare a due variabili rappresenta una retta in piano cartesiano e un'equazione lineare a tre variabile rappresenta un piano su 3-spazio euclideo.

Cos'è un'equazione quadratica?

Un'equazione quadratica è un'equazione algebrica del secondo grado. X² + 3x + 2 = 0 è una singola equazione quadratica variabile. X² + y² + 3x = 4 e 4x² + y² + 2Z² + x + y + z = 4 sono esempi di equazioni quadratiche di 2 e 3 variabili rispettivamente.

Nel caso a variabile singola, la forma generale di un'equazione quadratica è l'ascia² + bx + c = 0. Dove a, b, c sono numeri reali fuori dai quali 'a' è diverso da zero. Il discriminante Δ = (b² - 4ac) determina la natura delle radici dell'equazione quadratica. Le radici dell'equazione saranno reali distinte, reali simili e complesse in quanto Δ è positivo, zero e negativo. Le radici dell'equazione possono essere facilmente trovate usando la formula x = (- b ± √Δ) / 2a.

Nel caso delle due variabili, la forma generale sarebbe ax² + di² + cxy + dx + ex + f = 0 e questo rappresenta una conica (parabola, iperbole o ellisse) nel piano cartesiano. Nelle dimensioni superiori, questo tipo di equazioni rappresenta le super-superfici note come quadriche.