Differenza tra equazione lineare e equazione non lineare

Equazione lineare vs equazione non lineare

In matematica, le equazioni algebriche sono equazioni, che sono formate usando polinomi. Se esplicitamente scritte, le equazioni saranno della forma P (X) = 0, dove X è un vettore di n variabili sconosciute e P è un polinomio. Ad esempio, P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 è un'equazione algebrica in due variabili scritte esplicitamente. Inoltre, (x + y)³ = 3 volte²y - 3zy⁴ è un'equazione algebrica, ma in forma implicita e assumerà la forma Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, una volta scritto esplicitamente.

Una caratteristica importante di un'equazione algebrica è il suo grado. È definito come la massima potenza dei termini che si verificano nell'equazione. Se un termine consiste di due o più variabili, la somma degli esponenti di ciascuna variabile sarà considerata come il potere del termine. Osserva che secondo questa definizione P (x, y) = 0 è di grado 5, mentre Q (x, y, z) = 0 è di grado 5.

Le equazioni lineari e le equazioni non lineari sono una doppia partizione definita sull'insieme di equazioni algebriche. Il grado dell'equazione è il fattore che li differenzia dall'uno dall'altro.

Cos'è un'equazione lineare?

Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1. Ad esempio, 4x + 5 = 0 è un'equazione lineare di una variabile. x + y + 5z = 0 e 4x = 3w + 5y + 7z sono equazioni lineari di 3 e 4 variabili rispettivamente. In generale, un'equazione lineare di n variabili assumerà la forma m₁X₁ + m₂X₂ +... + m_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Ecco, x_iosono le variabili sconosciute, m_io's eb sono numeri reali in cui ciascuno di m_io è diverso da zero.

Tale equazione rappresenta un iper piano nello spazio euclideo n-dimensionale. In particolare, un'equazione lineare a due variabili rappresenta una retta in piano cartesiano e un'equazione lineare a tre variabile rappresenta un piano su 3-spazio euclideo.

Cos'è un'equazione non lineare?

Un'equazione quadratica è un'equazione algebrica, che non è lineare. In altre parole, un'equazione non lineare è un'equazione algebrica di grado 2 o superiore. X² + 3x + 2 = 0 è un'equazione non lineare a variabile singola. X² + y³+ 3xy = 4 e 8yzx² + y² + 2Z² + x + y + z = 4 sono esempi di equazioni non lineari di 3 e 4 variabili rispettivamente.

Un'equazione non lineare di secondo grado è chiamata equazione quadratica. Se il grado è 3, allora è chiamato un'equazione cubica. Le equazioni di grado 4 e di grado 5 sono chiamate rispettivamente equazioni quartiche e quintiche. È stato dimostrato che non esiste un metodo analitico per risolvere un'equazione non lineare del grado 5, e questo è vero anche per qualsiasi grado superiore. Le equazioni non lineari risolvibili rappresentano le superfici iper che non sono iperpiani.