Differenza tra integrazione e sommatoria

Integrazione vs somma
 

Nella matematica della scuola superiore, integrazione e sommatoria si trovano spesso nelle operazioni matematiche. Sono apparentemente usati come strumenti diversi e in situazioni diverse, ma condividono una relazione molto stretta.

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La somma è l'operazione di aggiungere una sequenza di numeri e l'operazione è spesso indicata dalla lettera greca di capitale sigma Σ. È usato per abbreviare la somma e uguale alla somma / totale della sequenza. Sono spesso usati per rappresentare le serie, che sono essenzialmente sequenze infinite riassunte. Possono anche essere utilizzati per indicare la somma di vettori, matrici o polinomi.

Solitamente la sommatoria viene eseguita per un intervallo di valori che può essere rappresentato da un termine generale, ad esempio una serie che ha un termine comune. Il punto di partenza e il punto finale della sommatoria sono noti rispettivamente come limite inferiore e limite superiore della sommatoria.

Ad esempio, la somma della sequenza a₁, un₂, un₃, un₄, ..., a_n è un₁ + un₂ + un₃ +... + a_n che può essere facilmente rappresentato usando la notazione di sommatoria come Σⁿ_{i = 1} un_io; Io sono chiamato l'indice della somma.

Molte varianti vengono utilizzate per la sommatoria in base all'applicazione. In alcuni casi, il limite superiore e il limite inferiore possono essere dati come intervallo o intervallo, come ad esempio Σ_1≤i≤100 un_io e Σ_{i∈ [1100]} un_io. Oppure può essere dato come un insieme di numeri come Σ_i∈P un_io , dove P è un insieme definito.

In alcuni casi, possono essere usati due o più segni sigma, ma possono essere generalizzati come segue; Σ_j Σ_K un_jk = Σ_{j, k} un_jk.

Inoltre, la sommatoria segue molte regole algebriche. Poiché l'operazione incorporata è l'aggiunta, molte delle regole comuni dell'algebra possono essere applicate alle somme stesse e ai singoli termini rappresentati dalla sommatoria.

Ulteriori informazioni sull'integrazione

L'integrazione è definita come il processo inverso di differenziazione. Ma nella sua vista geometrica può anche essere considerata come l'area racchiusa dalla curva della funzione e dell'asse. Pertanto, il calcolo dell'area fornisce il valore di un integrale definito come mostrato nel diagramma.

Fonte immagine: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Il valore dell'integrale definito è in realtà la somma delle piccole strisce all'interno della curva e dell'asse. L'area di ciascuna striscia è l'altezza × larghezza nel punto sull'asse considerato. La larghezza è un valore che possiamo scegliere, ad esempio Δx. E l'altezza è approssimativamente il valore della funzione nel punto considerato, per esempio f(X_io). Dal diagramma, è evidente che più piccole sono le strisce meglio si adattano le strisce all'interno dell'area delimitata, quindi migliore approssimazione del valore.

Quindi, in generale, l'integrale definito io, tra i punti aeb (cioè nell'intervallo [a, b] dove aio ≅ f(X₁) Ax + f(X₂) Δx + ⋯ + f(X_n) Δx, dove n è il numero di strisce (n = (b-a) / Δx). Questa sommatoria dell'area può essere facilmente rappresentata usando la notazione di sommatoria come io ≅ Σⁿ_{i = 1} f(X_io) Ax. Poiché l'approssimazione è migliore quando Δx è più piccolo, possiamo calcolare il valore quando Δx → 0. Pertanto, è ragionevole dire io = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(X_io) Ax.

Come generalizzazione dal concetto precedente, possiamo scegliere il Δx in base all'intervallo considerato indicizzato da i (scegliendo la larghezza dell'area in base alla posizione). Quindi otteniamo

io= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(X_io) Δx_io = _un∫^B f(X) dx

Questo è noto come Reimann Integral della funzione f(x) nell'intervallo [a, b]. In questo caso a e b sono noti come limite superiore e limite inferiore dell'integrale. L'integrale di Reimann è una forma base di tutti i metodi di integrazione.

In sostanza, l'integrazione è la somma dell'area quando la larghezza del rettangolo è infinitesimale.

Qual è la differenza tra integrazione e sommatoria?

• La sommatoria sta sommando una sequenza di numeri. Di solito, la sommatoria è data in questa forma Σⁿ_{i = 1} un_io quando i termini nella sequenza hanno uno schema e possono essere espressi usando un termine generale.

• L'integrazione è fondamentalmente l'area delimitata dalla curva della funzione, dall'asse e dai limiti superiore e inferiore. Questa area può essere indicata come la somma di aree molto più piccole incluse nell'area delimitata.

• La somma coinvolge i valori discreti con i limiti superiore e inferiore, mentre l'integrazione implica valori continui.

• L'integrazione può essere interpretata come una forma speciale di sommatoria.

• Nei metodi di calcolo numerico, l'integrazione viene sempre eseguita come una sommatoria.