Differenza tra derivata e integrale

Derivato vs Integrale

Differenziazione e integrazione sono due operazioni fondamentali in Calcolo. Hanno numerose applicazioni in diversi campi, come matematica, ingegneria e fisica. Sia il derivato che l'integrale discutono il comportamento di una funzione o comportamento di un'entità fisica di cui siamo interessati.

Che cos'è derivato?

Supponiamo che y = ƒ (x) e x₀ è nel dominio di ƒ. Quindi lim_{Ax → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[Ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx è chiamato il tasso istantaneo di variazione di ƒ a x₀, fornire questo limite esiste finitamente. Questo limite è anche chiamato derivata di at ed è denotato da ƒ (x).

Il valore della derivata di una funzione f in un punto arbitrario X nel dominio della funzione è dato da lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Questo è denotato da una qualsiasi delle seguenti espressioni: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_Xy.

Per le funzioni con più variabili, definiamo la derivata parziale. La derivata parziale di una funzione con più variabili è la sua derivata rispetto a una di queste variabili, assumendo che le altre variabili siano costanti. Il simbolo della derivata parziale è ∂.

Geometricamente la derivata di una funzione può essere interpretata come la pendenza della curva della funzione ƒ (x).

Cos'è l'integrale?

Integrazione o anti-differenziazione è il processo inverso di differenziazione. In altre parole, è il processo per trovare una funzione originale quando viene fornita la derivata della funzione. Pertanto, un integrale o un anti-derivato di una funzione ƒ (x) if, ƒ (x) =F(x) può essere definito come la funzione F(x), per tutti x nel dominio di ƒ (x).

L'espressione ∫ (x) dx indica la derivata della funzione ƒ (x). Se ƒ (x) =F(x), quindi ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, dove C è una costante, ∫ƒ (x) dx è chiamato l'integrale indefinito di ƒ (x).

Per qualsiasi funzione ƒ, che non è necessariamente non negativa e definita nell'intervallo [a, b], _un∫^Bƒ (x) dx è chiamato l'integrale definito ƒ su [a, b].

L'integrale definito _un∫^Bƒ (x) dx di una funzione ƒ (x) può essere interpretata geometricamente come l'area della regione delimitata dalla curva ƒ (x), l'asse xe le linee x = ae x = b.