Differenza tra derivata e differenziale

Derivata vs Differenziale
 

Nel calcolo differenziale, derivata e differenziale di una funzione sono strettamente correlati ma hanno significati molto diversi e sono usati per rappresentare due importanti oggetti matematici relativi a funzioni differenziabili.

Che cosa è derivativo?

La derivata di una funzione misura la velocità con cui il valore della funzione cambia al variare del suo input. Nelle funzioni multi-variabili, la modifica del valore della funzione dipende dalla direzione del cambiamento dei valori delle variabili indipendenti. Pertanto, in questi casi, viene scelta una direzione specifica e la funzione viene differenziata in quella particolare direzione. Quella derivata è chiamata derivata direzionale. I derivati ​​parziali sono un tipo speciale di derivati ​​direzionali.

Derivata di una funzione con valori vettoriali f può essere definito come il limite ovunque esista finitamente. Come accennato prima, questo ci dà il tasso di aumento della funzione f lungo la direzione del vettore u. Nel caso di una funzione a valore singolo, ciò si riduce alla ben nota definizione della derivata,  

Per esempio, è ovunque differenziabile e la derivata è uguale al limite, , che è uguale a . I derivati ​​di funzioni come   esiste ovunque Sono rispettivamente uguali alle funzioni .                                                                                

Questo è noto come il primo derivato. Di solito la prima derivata della funzione f è denotato da f ⁽¹⁾. Ora usando questa notazione, è possibile definire derivati ​​di ordine superiore. è la derivata direzionale del secondo ordine e denota il n^esimo derivato da f ⁽ⁿ⁾ per ciascuno n, ,  definisce il n^esimo derivato.

Qual è il differenziale?

Il differenziale di una funzione rappresenta il cambiamento nella funzione rispetto ai cambiamenti nella variabile indipendente o nelle variabili. Nella solita notazione, per una data funzione f di una singola variabile X, il differenziale totale dell'ordine 1 df è dato da, . Ciò significa che per un cambiamento infinitesimale in X(cioè dX), ci sarà un  f ⁽¹⁾(X) dX cambiare in f.

Usando i limiti si può finire con questa definizione come segue. Supponi ΔX è il cambiamento in X in un punto arbitrario X e Δf è il corrispondente cambiamento nella funzione f. Si può dimostrare che Δf = f ⁽¹⁾(X) ΔX+ ε, dove ε è l'errore. Ora, il limite Δx →0^Δf/_ΔX= f ⁽¹⁾(X) (usando la definizione di derivata precedentemente indicata) e quindi, Δx →0^ε/_ΔX= 0. Pertanto, è possibile concludere che, Δx →0ε = 0. Ora, denotando Δx →0 Δf come df e Δx →0 ΔX come dX la definizione del differenziale è rigorosamente ottenuta. 

Ad esempio, il differenziale della funzione è .

Nel caso di funzioni di due o più variabili, il differenziale totale di una funzione è definito come la somma dei differenziali nelle direzioni di ciascuna delle variabili indipendenti. Matematicamente, può essere dichiarato come .