Differenza tra numeri razionali e irrazionali

Il termine "numeri" ci porta alla mente quelli che sono generalmente classificati come valori interi positivi maggiori di zero. Altre classi di numeri includono numeri interi e frazioni, complesso e numeri reali e anche valori interi negativi.

Estendendo ulteriormente le classificazioni dei numeri, ci imbattiamo razionale e irrazionale numeri. Un numero razionale è un numero che può essere scritto come una frazione. In altre parole, il numero razionale può essere scritto come un rapporto di due numeri.

Si consideri, ad esempio, il numero 6. Può essere scritto come il rapporto di due numeri vale a dire. 6 e 1, portando al rapporto 6/1. allo stesso modo, 2/3, che è scritto come una frazione, è un numero razionale.

Possiamo quindi definire un numero razionale, come un numero scritto sotto forma di frazione, in cui sia il numeratore (il numero in alto) che il denominatore (il numero in basso) sono numeri interi. Per definizione, quindi, ogni numero intero è anche un numero razionale.

Un rapporto di due grandi numeri come (129.367.871)/(547.724.863) costituirebbe anche un esempio di numero razionale per la semplice ragione che sia il numeratore che il denominatore sono numeri interi.

Viceversa, qualsiasi numero che non può essere espresso sotto forma di frazione o rapporto viene definito irrazionale. L'esempio più comunemente citato di un numero irrazionale è √2 (1.414213...). Un altro esempio popolare di un numero irrazionale è la costante numerica π (3.141592 ... ).

Un numero irrazionale può essere scritto come decimale, ma non come una frazione. I numeri irrazionali non sono spesso usati nella vita quotidiana sebbene esistano sulla linea del numero. C'è un numero infinito di numeri irrazionali tra 0 e 1 sulla linea del numero. Un numero irrazionale ha cifre infinite non ripetute a destra del punto decimale.

Si noti che il valore spesso citato di 22/7 per la costante π è infatti solo uno dei valori di π. Per definizione, la circonferenza di un cerchio diviso per il doppio del suo raggio è il valore di π. Questo porta a più valori di π, incluso ma non limitato a, 333/106, 355/113 e così via1.

Solo le radici quadrate dei numeri quadrati; cioè, le radici quadrate del piazze perfette sono razionali.

√1= 1 (Razionale)

√2 (Irrazionale)

√3 (Irrazionale)

√4 = 2 (Razionale)

√5, √6, √7, √8 (Irrazionale)

√9 = 3 (Razionale) e così via.

Inoltre, notiamo che, solo il nle radici di ni poteri sono razionali. Quindi, il 6 ° radice di 64 è razionale, perché 64 è un 6 ° potere, vale a dire il 6 ° potere di 2. Ma il 6 ° radice di 63 è irrazionale. 63 non è perfetto 6esimo energia.

Inevitabilmente, la rappresentazione decimale degli irrazionali entra in scena e pone alcuni risultati interessanti.

Quando esprimiamo a razionale numero come decimale, quindi sarà il decimale esatto (come in 1/5= 0.20) o lo sarà inesatto (come in, 1/3 ≈ 0,3333). In entrambi i casi, ci sarà un modello prevedibile di cifre. Si noti che quando un irrazionale il numero è espresso come un decimale, quindi chiaramente non sarà esatto, perché altrimenti il ​​numero sarebbe razionale.

Inoltre, non ci sarà un modello prevedibile di cifre. Per esempio,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Ora, con numeri razionali, occasionalmente incontriamo 1/11 = 0,0909090.

L'uso di entrambi il segno di uguale (=) e tre punti (ellissi) implica che sebbene non sia possibile esprimere 1/11 esattamente come un decimale, possiamo ancora approssimarlo con il numero di cifre decimali a cui è permesso avvicinarsi 1/11.

Quindi, la forma decimale di 1/11 è considerato inesatto. Per lo stesso motivo, la forma decimale di  ¼ che è 0,25, è esatto.

Venendo alla forma decimale per i numeri irrazionali, saranno sempre inesatti. Continuando con l'esempio di √2, quando scriviamo √2 = 1.41421356237... (notare l'uso di puntini di sospensione), implica immediatamente che non è necessario alcun decimale √2 sarà esatto Inoltre, non ci sarà un modello prevedibile di cifre. Usando concetti dai metodi numerici, di nuovo, possiamo razionalmente approssimare per il numero di cifre decimali fino a quando siamo vicini a √2.

Qualsiasi nota su numeri razionali e irrazionali non può finire senza la prova obbligatoria del motivo per cui √2 è irrazionale. Nel fare ciò, chiariamo anche il classico esempio di a prova di contradiction.

Supponiamo che √2 sia razionale. Questo ci porta a rappresentarlo come un rapporto di due interi, per esempio p e q.

√2 = p / q

Inutile dire, p e q non hanno fattori comuni, perché se dovessero esserci dei fattori comuni, li avremmo cancellati dal numeratore e dal denominatore.

Quadrando entrambi i lati dell'equazione, finiamo con,

2 = p2 / q2

Questo può essere comodamente scritto come,

p2 = 2q2

L'ultima equazione suggerisce questo p2 è anche. Questo è possibile solo se p stesso è pari. Questo a sua volta implica questo p2 è divisibile per 4. Quindi, q2 E conseguentemente q deve essere pari Così p e q sono entrambi pari, il che è una contraddizione alla nostra ipotesi iniziale che non hanno fattori comuni. così, √2 non può essere razionale Q.E.D.