Come moltiplica i vettori
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Vedremo tre modi per moltiplicare i vettori. In primo luogo, esamineremo la moltiplicazione scalare dei vettori. Quindi, vedremo moltiplicare due vettori. Impareremo due modi diversi per moltiplicare i vettori, utilizzando il prodotto scalare e il prodotto incrociato.
Come moltiplica i vettori per uno scalare
Quando si moltiplica un vettore per uno scalare, ogni componente del vettore viene moltiplicato per lo scalare.
Supponiamo di avere un vettore 
, questo deve essere moltiplicato per lo scalare 
. Quindi, il prodotto tra il vettore e lo scalare è scritto come 
. Se 
, allora la moltiplicazione aumenterebbe la lunghezza di da un fattore . Se 
, quindi, oltre ad aumentare la grandezza di da un fattore , anche la direzione del vettore sarebbe invertita.
Per quanto riguarda i componenti vettoriali, ogni componente viene moltiplicato per lo scalare. Ad esempio, se un vettore 
, poi 
.
Esempio
Il vettore del momento 
di un oggetto è dato da 
, dove 
è la massa dell'oggetto e 
è il vettore di velocità. Per un oggetto con una massa di 2 kg avente una velocità di 
Signorina-1, trova il vettore del momento.
Il momento è 
kg m s-1.
Come trovare il prodotto scalare di due vettori
Il scalare Prodotto (noto anche come il prodotto punto) Tra due vettori e 
è scritto come 
. Questo è definito come,
dove 
è l'angolo tra i due vettori se sono posizionati tail-to-tail come mostrato di seguito:
Il prodotto scalare tra due vettori produce una quantità scalare. Geometricamente, questa quantità è uguale al prodotto della grandezza della proiezione di un vettore sull'altro e la grandezza del vettore "altro":
Usando i componenti dei vettori lungo il piano cartesiano, potremmo ottenere il prodotto scalare come segue. Se il vettore 
e 
, quindi il prodotto scalare
Esempio
Vettore 
e 
. Trova 
.
Esempio
Il lavoro svolto 
da una forza 
, quando provoca uno spostamento 
perché un oggetto è dato da, 
. Supponiamo una forza di 
N fa muovere un corpo, il cui spostamento è sotto la forza 
m. Trova il lavoro svolto dalla forza.
J.
Esempio
Trova l'angolo tra i due vettori 
e 
.
Dalla definizione del prodotto scalare, 
. Qui, abbiamo 
e 
.
Poi,
.
Se due vettori sono perpendicolari tra loro, allora l'angolo tra loro è 90o. In questo caso, 
e così il prodotto scalare diventa 0. In particolare, per i vettori unitari nel sistema di coordinate cartesiane, lo notiamo,
Per i vettori paralleli, l'angolo tra loro è 0o. In questo caso, 
e il prodotto scalare diventa semplicemente i prodotti delle grandezze dei vettori. In particolare,
Il prodotto scalare è commutativo. vale a dire. 
.
Il prodotto scalare è anche distributivo. vale a dire. 
.
Come trovare il prodotto incrociato di due vettori
Il attraversare Prodotto (noto anche come il prodotto vettoriale) Tra due vettori e è scritto come 
. Questo è definito come,
Il prodotto vettoriale o il prodotto incrociato, a differenza del prodotto scalare, fornisce un vettore come risposta. La formula sopra riportata indica la grandezza del vettore. Prendere il direzione di questo vettore, immagina di girare un cacciavite dalla direzione del primo vettore verso la direzione del secondo vettore. La direzione in cui il cacciavite "entra" è la direzione del prodotto vettoriale.
Ad esempio, nel diagramma sopra, il prodotto vettoriale è punterà nella pagina, mentre 
indicherà fuori dalla pagina.
Chiaramente, allora, il prodotto vettoriale non è commutativo. Piuttosto, 
.
Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è 0. Questo perché l'angolo tra loro è 00, fare il 
.
Per quanto riguarda i vettori unitari, abbiamo quindi
Inoltre, abbiamo
Per quanto riguarda i componenti, il prodotto vettoriale è dato da,
Esempio
Trova il prodotto incrociato tra i vettori 
e 
.
.
