Differenza tra equazione di differenza ed equazione differenziale

Equazione di differenza rispetto a equazione differenziale

Un fenomeno naturale può essere descritto matematicamente dalle funzioni di un numero di variabili e parametri indipendenti. Soprattutto quando sono espressi da una funzione di posizione spaziale e il tempo si traduce in equazioni. La funzione può cambiare con la modifica delle variabili indipendenti o dei parametri. Un cambiamento infinitesimale che si verifica nella funzione quando viene modificata una delle sue variabili è chiamato derivata di quella funzione.

Un'equazione differenziale è un'equazione che contiene le derivate di una funzione così come la funzione stessa. Una semplice equazione differenziale è quella della seconda legge del moto di Newton. Se un oggetto di massa m si muove con l'accelerazione "a" e viene agito con forza F, allora la Seconda Legge di Newton ci dice che F = ma. Anche qui, 'a' varia nel tempo, possiamo riscrivere 'a' come; a = dv / dt; v è velocità. La velocità è la funzione di spazio e tempo, ovvero v = ds / dt; quindi 'a' = d²s / dt².

Tenendo presente ciò, possiamo riscrivere la seconda legge di Newton come un'equazione differenziale;

'F' come funzione di v e t - F (v, t) = mdv / dt, o

'F' in funzione di s e t - F (s, ds / dt, t) = m d²s / dt²

Esistono due tipi di equazioni differenziali; equazione differenziale ordinaria, abbreviata con ODE o equazione differenziale parziale, abbreviata con PDE. L'equazione differenziale ordinaria avrà derivati ​​ordinari (derivati ​​di una sola variabile) in essa. L'equazione differenziale parziale avrà derivati ​​differenziali (derivati ​​di più di una variabile) in essa.

per esempio. F = m d²s / dt² è un ODE, mentre α² d²u / dx² = du / dt è un PDE, ha derivate di t e x.

L'equazione di differenza è uguale all'equazione differenziale ma la guardiamo in un contesto diverso. Nelle equazioni differenziali, la variabile indipendente come il tempo è considerata nel contesto del sistema a tempo continuo. Nel sistema a tempo discreto, chiamiamo la funzione come equazione alle differenze.

L'equazione delle differenze è una funzione delle differenze. Le differenze nelle variabili indipendenti sono di tre tipi; sequenza di numeri, sistema dinamico discreto e funzione iterata.

In sequenza di numeri, la modifica viene generata in modo ricorsivo utilizzando una regola per mettere in relazione ciascun numero nella sequenza con i numeri precedenti nella sequenza.

L'equazione di differenza in un sistema dinamico discreto richiede un segnale di ingresso discreto e produce un segnale di uscita.

L'equazione di differenza è una mappa iterata per funzione iterata. Ad esempio, y₀, f (y₀), f (f (y₀)), f (f (f (y₀))), ... .è la sequenza di una funzione iterata. La f (y₀) è il primo iterato di y₀. La k-esima iterazione sarà denotata da f^K(y₀).