Differenza tra variabili casuali e distribuzione di probabilità

Variabili casuali e distribuzione di probabilità

Gli esperimenti statistici sono esperimenti casuali che possono essere ripetuti indefinitamente con un insieme noto di esiti. Entrambe le variabili casuali e le distribuzioni di probabilità sono associate a tali esperimenti. Per ogni variabile casuale, esiste una distribuzione di probabilità associata definita da una funzione chiamata funzione di distribuzione cumulativa.

Cos'è una variabile casuale?

Una variabile casuale è una funzione che assegna valori numerici ai risultati di un esperimento statistico. In altre parole, è una funzione definita dallo spazio campione di un esperimento statistico nell'insieme di numeri reali.

Ad esempio, considera un esperimento casuale di lanciare una moneta due volte. I risultati possibili sono HH, HT, TH e TT (H - heads, T - tales). Lascia che la variabile X sia il numero di teste osservate nell'esperimento. Quindi, X può assumere i valori 0, 1 o 2 ed è una variabile casuale. Qui, la variabile casuale X mapperà l'insieme S = HH, HT, TH, TT (lo spazio campione) al set 0, 1, 2 in modo tale che HH sia mappato a 2, HT e TH sono mappati a 1 e TT è mappato a 0. Nella notazione di funzione, questo può essere scritto come, X: S → R dove X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 e X ( TT) = 0.

Esistono due tipi di variabili casuali: discrete e continue, di conseguenza il numero di valori possibili che una variabile casuale può assumere è al massimo numerabile o meno. Nell'esempio precedente, la variabile casuale X è una variabile casuale discreta poiché 0, 1, 2 è un insieme finito. Ora, considera l'esperimento statistico di trovare i pesi degli studenti in una classe. Sia Y la variabile casuale definita come il peso di uno studente. Y può assumere qualsiasi valore reale entro un intervallo specifico. Quindi, Y è una variabile casuale continua.

Cos'è una distribuzione di probabilità?

La distribuzione della probabilità è una funzione che descrive la probabilità che una variabile casuale assuma determinati valori.

Una funzione chiamata funzione di distribuzione cumulativa (F) può essere definita dall'insieme di numeri reali all'insieme di numeri reali come F (x) = P (X ≤ x) (la probabilità che X sia minore o uguale a x) per ogni risultato possibile x. Ora la funzione di distribuzione cumulativa di X nel primo esempio può essere scritta come F (a) = 0, se a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Nel caso di variabili casuali discrete, è possibile definire una funzione dall'insieme di possibili risultati all'insieme di numeri reali in modo tale che ƒ (x) = P (X = x) (la probabilità che X sia uguale a x) per ogni possibile risultato x. Questa particolare funzione ƒ è chiamata la funzione di massa di probabilità della variabile casuale X. Ora la funzione di massa di probabilità di X nel primo esempio particolare può essere scritta come ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 e ƒ (x) = 0 altrimenti. Pertanto, la funzione di massa di probabilità insieme alla funzione di distribuzione cumulativa descriverà la distribuzione di probabilità di X nel primo esempio.

Nel caso di variabili casuali continue, una funzione chiamata funzione di densità di probabilità (ƒ) può essere definita come ƒ (x) = dF (x) / dx per ogni x dove F è la funzione di distribuzione cumulativa della variabile casuale continua. È facile vedere che questa funzione soddisfa ∫ƒ (x) dx = 1. La funzione di densità di probabilità insieme alla funzione di distribuzione cumulativa descrive la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. Ad esempio, la distribuzione normale (che è una distribuzione di probabilità continua) è descritta usando la funzione di densità di probabilità ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-μ)]²/ (2σ²)).