Differenza tra serie Power e serie Taylor

Serie Power vs Serie Taylor

In matematica, una sequenza reale è una lista ordinata di numeri reali. Formalmente, è una funzione dall'insieme di numeri naturali nell'insieme di numeri reali. Se un_nè poi^esimo termine di una sequenza, denotiamo la sequenza di o da un₁, un₂,..., a_n,... Ad esempio, considera la sequenza 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,... Può essere indicato come 1 / n.

È possibile definire una serie usando le sequenze. Una serie è la somma dei termini di una sequenza. Pertanto, per ciascuna sequenza, esiste una sequenza associata e viceversa. Se una_n è la sequenza in esame, quindi la serie formata da quella sequenza può essere rappresentata come:                                           

 Pertanto, nell'esempio sopra, la serie associata è 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Come suggeriscono i nomi, la serie di potenze è un tipo speciale di serie ed è ampiamente utilizzata nell'analisi numerica e nella relativa modellizzazione matematica. La serie Taylor è una serie di potenze speciali che fornisce un modo alternativo e facile da manipolare per rappresentare funzioni ben note.

Cos'è la serie Power?

Una serie di potenze è una serie della forma

    

che è convergente (possibilmente) per qualche intervallo centrato a c. I coefficienti un_n può essere numeri reali o complessi, ed è indipendente da X; vale a dire. la variabile fittizia.

Ad esempio, impostando un_n= 1 per ciascuno n, e c = 0, la serie di potenze 1 + x + x²+... + xⁿ+… è ottenuto. È facile osservare che quando x ε (-1,1), questa serie di potenze converge in 1 / (1-x).          

Una serie di potenze converge quando X = c. Gli altri valori di X per cui la serie di potenze converge avrà sempre la forma di un intervallo aperto centrato su c. Questo è, ci sarà un valore 0≤ R ≤ ∞ tale che per ciascuno X soddisfacente | x-c | ≤R, la serie di potenze è convergente e per ciascuna X  soddisfacente | x-c |>R, la serie di potenze è divergente. Questo valore R è chiamato raggio di convergenza delle serie di potenze (R può prendere qualsiasi valore reale o infinito positivo).

Le serie di potenze possono essere aggiunte, sottratte, moltiplicate e divise usando le seguenti regole. Considera le due serie di potenze:       

   

                               .

Poi,                 

vale a dire. i termini simili vengono aggiunti o sottratti insieme. Inoltre, è possibile moltiplicare e dividere le due serie di potenze usando l'identità,

Cos'è la serie Taylor?

La serie di Taylor è definita per una funzione f(X) che è infinitamente differenziabile in un intervallo. Assumere f(X) è differenziabile su un intervallo centrato a c. Quindi la serie di potenza che è data da

                                                                                                                                

si chiama espansione della serie Taylor della funzione f(X) di c. (Qui f^(N)(c) Denotano il n^esimo derivativo a X = c). Nell'analisi numerica, un numero finito di termini in questa espansione infinita viene utilizzato nel calcolo dei valori nei punti in cui la serie è convergente alla funzione originale.

Una funzione f(X) si dice che sia analitico nell'intervallo (a, b), se per ogni x ε (a, b), la serie di Taylor di f(X) converge alla funzione f(X). Ad esempio, 1 / (1-x) è analitico su (-1,1), poiché la sua espansione di Taylor 1 + x + x²+... + xⁿ+... converge alla funzione su quell'intervallo, e e^X  è analitico ovunque, dal momento che la serie di Taylor di e^Xconverge a e^X per ogni numero reale X.

Qual è la differenza tra le serie Power e Taylor?

1. La serie Taylor è una classe speciale di serie di potenze definita solo per funzioni che sono infinitamente differenziabili in alcuni intervalli aperti.

2. Le serie di Taylor prendono la forma speciale

        

mentre una serie di potenze può essere una qualsiasi serie della forma