Differenza tra ortogonali e ortonormali

Ortogonale vs Ortonormale

In matematica, le due parole ortogonali e ortonormali sono usate frequentemente insieme ad un insieme di vettori. Qui, il termine 'vettore' è usato nel senso che è un elemento di uno spazio vettoriale - una struttura algebrica usata nell'algebra lineare. Per la nostra discussione, prenderemo in considerazione uno spazio prodotto interno, uno spazio vettoriale V insieme a un prodotto interno [] definito su V.

Ad esempio, per un prodotto interno, lo spazio è l'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali insieme al solito prodotto dot.

Cosa è ortogonale?

Un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio prodotto interno V si dice che sia ortogonale, se e solo se per ciascuno distinto tu, v nel S, [u, v] = 0; cioè il prodotto interno di u e v è uguale allo zero scalare nello spazio prodotto interno.

Ad esempio, nell'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali, questo equivale a dire che, per ogni coppia distinta di vettori di posizione p e q in S, p e q sono perpendicolari tra loro. (Ricorda che il prodotto interno in questo spazio vettoriale è il prodotto punto.Inoltre, il prodotto punto di due vettori è uguale a 0 se e solo se i due vettori sono perpendicolari tra loro).

Considera il set S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), che è un sottoinsieme dei vettori di posizione tridimensionale. Osservare che (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 e (0,2,0).(0,0,5) = 0. Quindi, l'insieme S è ortogonale. In particolare, si dice che due vettori siano ortogonali se il loro prodotto interno è 0. Pertanto, ogni coppia di vettori in Sè ortogonale.

Cos'è l'ortonormale?

Un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio prodotto interno V si dice che sia ortonormale se e solo se S è ortogonale e per ogni vettore u nel S, [u, u] = 1. Pertanto, si può vedere che ogni set ortonormale è ortogonale ma non viceversa.

Ad esempio, nell'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali, questo equivale a dire che, per ogni coppia distinta di vettori di posizione p e q nel S, p e q sono perpendicolari tra loro e per ciascuno p nel S, | P | = 1. Questo perché la condizione [p, p] = 1 riduce a p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, che è equivalente a | P | = 1. Pertanto, dato un insieme ortogonale possiamo sempre formare un corrispondente set ortonormale dividendo ciascun vettore per la sua grandezza.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) è un sottoinsieme ortonormale dell'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionale. È facile vedere che è stato ottenuto dividendo ciascuno dei vettori nel set S, dalle loro grandezze.

Qual è la differenza tra ortogonali e ortonormali?

• Un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio prodotto interno V si dice che sia ortogonale, se e solo se per ogni distinto tu, v nel S, [u, v] = 0. Tuttavia, è ortonormale, se e solo se una condizione aggiuntiva - per ogni vettore u nel S, [u, u] = 1 è soddisfatto.
• Qualsiasi insieme ortonormale è ortogonale ma non viceversa.
• Qualsiasi insieme ortogonale corrisponde ad un insieme ortonormale unico ma un insieme ortonormale può corrispondere a molti insiemi ortogonali.