Differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari

Equazioni differenziali lineari e non lineari
 

Un'equazione contenente almeno un coefficiente differenziale o derivata di una variabile sconosciuta è nota come equazione differenziale. Un'equazione differenziale può essere lineare o non lineare. Lo scopo di questo articolo è spiegare cos'è l'equazione differenziale lineare, cos'è l'equazione differenziale non lineare e qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari.

Dal momento che lo sviluppo del calcolo nel XVIII secolo da parte dei matematici come Newton e Leibnitz, l'equazione differenziale ha svolto un ruolo importante nella storia della matematica. Le equazioni differenziali sono di grande importanza in matematica a causa della loro gamma di applicazioni. Le equazioni differenziali sono al centro di ogni modello che sviluppiamo per spiegare qualsiasi scenario o evento nel mondo sia che si tratti di fisica, ingegneria, chimica, statistica, analisi finanziaria o biologia (la lista è infinita). Infatti, fino a quando il calcolo non divenne una teoria consolidata, strumenti matematici appropriati non erano disponibili per analizzare i problemi interessanti nella natura.

Le equazioni risultanti da una specifica applicazione del calcolo possono essere molto complesse e talvolta non risolvibili. Tuttavia, ci sono quelli che possiamo risolvere, ma possono sembrare uguali e confusi. Pertanto, per una più facile identificazione, le equazioni differenziali sono categorizzate dal loro comportamento matematico. Lineare e non lineare è una di queste categorie. È importante identificare la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari.

Che cos'è un'equazione differenziale lineare?

Supporre che f: X → Y e f (x) = y, a equazione differenziale senza termini non lineari della funzione sconosciuta y e i suoi derivati ​​sono noti come equazioni differenziali lineari.

Implica la condizione che y non possa avere termini di indice più elevati come y², y³,... e multipli di derivati ​​come 

Inoltre non può contenere termini non lineari come Sin y, e^{y^ -2}, o ln y. Prende la forma, 

dove y e g sono funzioni di X. L'equazione è un'equazione differenziale di ordine n, che è l'indice della derivata di ordine più alto.

In un'equazione differenziale lineare, l'operatore differenziale è un operatore lineare e le soluzioni formano uno spazio vettoriale. Come risultato della natura lineare del set di soluzioni, una combinazione lineare delle soluzioni è anche una soluzione all'equazione differenziale. Cioè, se y₁ e y₂ sono soluzioni dell'equazione differenziale, quindi C₁ y₁+ C₂ y₂ è anche una soluzione.

La linearità dell'equazione è solo un parametro della classificazione e può essere ulteriormente classificata in equazioni differenziali omogenee o non omogenee e ordinarie o parziali. Se la funzione è g= 0 allora l'equazione è un'equazione differenziale omogenea lineare. Se f è una funzione di due o più variabili indipendenti (f: X, T → Y) e f (x, t) = y , allora l'equazione è un'equazione differenziale parziale lineare.

Il metodo di soluzione per l'equazione differenziale dipende dal tipo e dai coefficienti dell'equazione differenziale. Il caso più semplice sorge quando i coefficienti sono costanti. Esempio classico per questo caso è la seconda legge del moto di Newton e le sue varie applicazioni. La seconda legge di Newton produce un'equazione differenziale lineare del secondo ordine con coefficienti costanti.

Che cos'è un'equazione differenziale non lineare?

Le equazioni che contengono termini non lineari sono conosciute come equazioni differenziali non lineari.

 

Tutto sopra sono equazioni differenziali non lineari. Le equazioni differenziali non lineari sono difficili da risolvere, pertanto è necessario uno studio approfondito per ottenere una soluzione corretta. In caso di equazioni differenziali alle derivate parziali, la maggior parte delle equazioni non ha una soluzione generale. Pertanto, ogni equazione deve essere trattata in modo indipendente.

Equazione di Navier-Stokes ed equazione di Eulero in fluidodinamica, le equazioni di campo di Einstein della relatività generale sono equazioni differenziali parziali non lineari ben note. Talvolta l'applicazione dell'equazione di Lagrange a un sistema variabile può risultare in un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari.

Qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari?

• Un'equazione differenziale, che ha solo i termini lineari della variabile sconosciuta o dipendente e delle sue derivate, è nota come un'equazione differenziale lineare. Non ha termine con la variabile dipendente di indice superiore a 1 e non contiene alcun multiplo delle sue derivate. Non può avere funzioni non lineari come le funzioni trigonometriche, la funzione esponenziale e le funzioni logaritmiche rispetto alla variabile dipendente. Qualsiasi equazione differenziale che contiene i termini sopra menzionati è un'equazione differenziale non lineare.

• Le soluzioni di equazioni differenziali lineari creano uno spazio vettoriale e l'operatore differenziale è anche un operatore lineare nello spazio vettoriale.

• Le soluzioni di equazioni differenziali lineari sono relativamente più semplici e esistono soluzioni generali. Per le equazioni non lineari, nella maggior parte dei casi, la soluzione generale non esiste e la soluzione potrebbe essere specifica del problema. Ciò rende la soluzione molto più difficile delle equazioni lineari.