Differenza tra sequenza aritmetica e sequenza geometrica

Sequenza aritmetica vs sequenza geometrica
 

Lo studio dei modelli di numeri e del loro comportamento è uno studio importante nel campo della matematica. Spesso questi modelli possono essere visti in natura e ci aiutano a spiegare il loro comportamento da un punto di vista scientifico. Le sequenze aritmetiche e le sequenze geometriche sono due dei modelli di base che si verificano nei numeri e spesso si trovano nei fenomeni naturali.

La sequenza è un insieme di numeri ordinati. Il numero di elementi nella sequenza può essere finito o infinito.

Maggiori informazioni sulla sequenza aritmetica (progressione aritmetica)

Una sequenza aritmetica è definita come una sequenza di numeri con una differenza costante tra ogni termine consecutivo. È anche conosciuto come progressione aritmetica.

Sequnece aritmetica ⇒ a₁, un₂, un_3, un₄,..., a_n ; dove un₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, e così via.

Se il termine iniziale è a₁ e la differenza comune è d, quindi il n^esimo termine della sequenza è dato da;

un_n = a₁ + (N-1) d

Prendendo ulteriormente il risultato sopra, il n^esimo termine può essere dato anche come;

un_n = a_m + (N-m) d, dove un_m è un termine casuale nella sequenza tale che n> m.

L'insieme di numeri pari e l'insieme di numeri dispari sono gli esempi più semplici di sequenze aritmetiche, in cui ogni sequenza ha una differenza comune (d) di 2.

Il numero di termini in una sequenza può essere infinito o finito. Nel caso infinito (n → ∞), la sequenza tende all'infinito a seconda della differenza comune (a_n → ± ∞). Se la differenza comune è positiva (d> 0), la sequenza tende all'infinito positivo e, se la differenza comune è negativa (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

La somma dei termini nella sequenza aritmetica è nota come serie aritmetica: S_n= a₁ + un₂ + un₃ + un₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 → n} un_io; e S_n = (n / 2) (a₁ + un_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] indica il valore della serie (S_n).

Maggiori informazioni sulla sequenza geometrica (progressione geometrica)

Una sequenza geometrica è definita come una sequenza in cui il quoziente di due termini consecutivi è una costante. Questo è anche conosciuto come progressione geometrica.

Sequenza geometrica ⇒ a₁, un₂, un₃, un₄,..., a_n; dove un₂/un₁ = r, a₃/un₂ = r, e così via, dove r è un numero reale.

È più semplice rappresentare la sequenza geometrica utilizzando il rapporto comune (r) e il termine iniziale (a). Quindi la sequenza geometrica ⇒ a₁, un₁RA₁r², un₁r³,..., a₁r^n-1.

La forma generale del n^esimo termini forniti da a_n = a₁r^n-1. (Perdere il pedice del termine iniziale ⇒ a_n = ar^n-1)

La sequenza geometrica può anche essere finita o infinita. Se il numero di termini è finito, si dice che la sequenza sia finita. E se i termini sono infiniti, la sequenza può essere infinita o finita a seconda del rapporto r. Il rapporto comune influisce su molte proprietà nelle sequenze geometriche. 

r> o	0 < r < +1	La sequenza converge - decadimento esponenziale, cioè an → 0, n → ∞
	r = 1	Sequenza costante, cioè an = costante
	r> 1	La Sequenza diverge - crescita esponenziale, cioè an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	La sequenza è oscillante, ma converge
	r = 1	La sequenza è alternata e costante, cioè an = ± costante
	r < -1	La sequenza si alterna e diverge. cioè an → ± ∞, n → ∞
r = 0	La sequenza è una stringa di zeri

N.B: In tutti i casi precedenti, a₁ > 0; se una₁ < 0, the signs related to a_n sarà invertito.

L'intervallo di tempo tra i rimbalzi di una palla segue una sequenza geometrica nel modello ideale ed è una sequenza convergente.

La somma dei termini della sequenza geometrica è nota come una serie geometrica; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 → n} ar^io. La somma delle serie geometriche può essere calcolata utilizzando la seguente formula.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); dove a è il termine iniziale e r è il rapporto.

Se il rapporto, r ≤ 1, la serie converge. Per una serie infinita, il valore di convergenza è dato da S_n = a / (1-r) 

Qual è la differenza tra aritmetica e sequenza geometrica / progressione?

• In una sequenza aritmetica, qualsiasi due termini consecutivi ha una differenza comune (d) mentre, in sequenza geometrica, qualsiasi due termini consecutivi ha un quoziente costante (r).

• In una sequenza aritmetica, la variazione dei termini è lineare, vale a dire che una linea retta può essere disegnata passando attraverso tutti i punti. In una serie geometrica, la variazione è esponenziale; sia in crescita o decadente in base al rapporto comune.

• Tutte le sequenze aritmetiche infinite sono divergenti, mentre le serie geometriche infinite possono essere divergenti o convergenti.

• Le serie geometriche possono mostrare oscillazioni se il rapporto r è negativo mentre la serie aritmetica non visualizza l'oscillazione