Differenza tra serie aritmetiche e geometriche
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Aritmetica vs Serie geometrica
La definizione matematica di una serie è strettamente correlata alle sequenze. Una sequenza è un insieme ordinato di numeri e può essere un insieme finito o infinito. Una sequenza di numeri con la differenza tra due elementi che sono una costante è conosciuta come una progressione aritmetica. Una sequenza con un quoziente costante di due numeri successivi è conosciuta come una progressione geometrica. Queste progressioni possono essere finite o infinite, e se finite, il numero di termini è numerabile, altrimenti non numerabile.
In generale, la somma degli elementi in una progressione può essere definita come una serie. La somma di una progressione aritmetica è conosciuta come una serie aritmetica. Allo stesso modo, la somma di una progressione geometrica è conosciuta come una serie geometrica.
Maggiori informazioni sulla serie aritmetica
In una serie aritmetica, i termini successivi hanno una differenza costante.
Sn = a1 + un2 + un3 + un4 +⋯ + an = Σni = 1 unio ; dove un2 = a1 + d, a3 = a2 + d, e così via.
Questa differenza d è nota come differenza comune e il nesimo termine è dato da an = a1+ (N-1) d; dove un1 è il primo termine.
Il comportamento della serie cambia in base alla differenza comune d. Se la differenza comune è positiva, la progressione tende ad essere infinita positiva, e se la differenza comune è negativa tende verso l'infinito negativo.
La somma delle serie può essere ottenuta con la seguente formula semplice, che è stata sviluppata per la prima volta dall'astronomo e matematico indiano Aryabhata.
Sn = n / 2 (a1+ unn ) = n / 2 [2a1 + (N-1) d]
La somma Sn può essere finito o infinito, in base al numero di termini.
Ulteriori informazioni sulle serie geometriche
Una serie geometrica è una serie con il quoziente dei numeri successivi costante. È una serie importante trovata nello studio della serie, a causa delle proprietà che possiede.
Sn = ar + ar2 + ar3 +⋯ + arn = Σni = 1 ario
In base al rapporto r, il comportamento delle serie può essere classificato come segue. r = | r | ≥1 serie diverge; la serie r≤1 converge. Inoltre, se r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.
La somma delle serie geometriche può essere calcolata utilizzando la seguente formula. Sn = a (1-rn) / (1-r); dove a è il termine iniziale e r è il rapporto. Se il rapporto r≤1, la serie converge. Per una serie infinita, il valore di convergenza è dato da Sn= a / (1-r).
Le serie geometriche hanno numerose applicazioni nel campo delle scienze fisiche, dell'ingegneria e dell'economia
Qual è la differenza tra Aritmetica e Serie geometrica?
• Una serie aritmetica è una serie con una differenza costante tra due termini adiacenti.
• Una serie geometrica è una serie con un quoziente costante tra due termini successivi.
• Tutte le serie aritmetiche infinite sono sempre divergenti, ma a seconda del rapporto, le serie geometriche possono essere convergenti o divergenti.
• Le serie geometriche possono avere oscillazioni nei valori; cioè, i numeri cambiano i loro segni in alternativa, ma la serie aritmetica non può avere oscillazioni.
