Differenza tra integrali definiti e indefiniti
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Il calcolo è un ramo importante della matematica e la differenziazione gioca un ruolo fondamentale nel calcolo. Il processo inverso della differenziazione è noto come integrazione, e l'inverso è noto come integrale, o semplicemente put, l'inverso della differenziazione dà un integrale. Sulla base dei risultati che producono gli integrali sono divisi in due classi cioè, integrali definiti e indefiniti.
Definito Integrale
L'integrale definito di f (x) è un NUMERO e rappresenta l'area sotto la curva f (x) a partire dal x = a a x = b.
Un integrale definito ha limiti superiori e inferiori sugli integrali, ed è definito definito perché, alla fine del problema, abbiamo un numero - è una risposta definita.
Integrale indefinito
L'integrale indefinito di f (x) è una FUNZIONE e risponde alla domanda, "Che funzione dà quando differenziato f (x)?”
Con un integrale indefinito non ci sono limiti superiori e inferiori sull'integrale qui, e quello che otterremo è una risposta che ha ancora XC'è dentro e avrà anche una costante (di solito denotata da C) dentro.
L'integrale indefinito di solito fornisce una soluzione generale all'equazione differenziale.
L'integrale indefinito è più di una forma generale di integrazione, e può essere interpretato come l'anti-derivato della funzione considerata.
Supponiamo la differenziazione della funzione F porta ad un'altra funzione f, e l'integrazione di f dà l'integrale. Simbolicamente, questo è scritto come
F (x) = ∫ƒ (x) dx
o
F = ∫ƒ dx
dove entrambi F e ƒ sono funzioni di X, e F è differenziabile. Nella forma sopra, è chiamato un integrale di Reimann e la funzione risultante accompagna una costante arbitraria.
Un integrale indefinito produce spesso una famiglia di funzioni; quindi, l'integrale è indefinito.
Integrali e processo di integrazione sono alla base della risoluzione di equazioni differenziali. Tuttavia, a differenza delle fasi di differenziazione, le fasi di integrazione non seguono sempre una routine chiara e standard. Occasionalmente, vediamo che la soluzione non può essere espressa esplicitamente in termini di funzione elementare. In tal caso, la soluzione analitica viene spesso data sotto forma di un integrale indefinito.
Teorema fondamentale del calcolo
L'integrale definito e l'indefinito sono collegati dal Teorema Fondamentale del Calcolo come segue: Per calcolare a integrale definito, trovare la integrale indefinito (noto anche come anti-derivato) della funzione e valutare ai punti finali x = a e x = b.
La differenza tra integrali definiti e indefiniti sarà evidente una volta che valuteremo gli integrali per la stessa funzione.
Considera il seguente integrale:
OK. Facciamo entrambi e vediamo la differenza.
Per l'integrazione, è necessario aggiungerne uno all'indice che ci porta alla seguente espressione:
A questo punto del tempo C è semplicemente una costante per noi. Ulteriori informazioni sono necessarie nel problema per determinare il valore preciso di C.
Cerchiamo di valutare lo stesso integrale nella sua forma definita, cioè con i limiti superiore e inferiore inclusi.
Graficamente parlando, stiamo calcolando l'area sotto la curva f (x) = y3 fra y = 2 e y = 3.
Il primo passo in questa valutazione è lo stesso della valutazione integrale indefinita. L'unica differenza è che questa volta non aggiungiamo la costante C.
L'espressione in questo caso è la seguente:
Questo è il turno porta a:
Essenzialmente, abbiamo sostituito 3 e poi 2 nell'espressione e ottenuto la differenza tra loro.
Questo è il valore definito in contrapposizione all'uso di costante C prima.
Esploriamo il fattore costante (rispetto all'integrale indefinito) in qualche dettaglio.
Se il differenziale di y3 è 3Y2, poi
∫3Y2dy = y3
però, 3Y2 potrebbe essere il differenziale di molte espressioni alcune delle quali includono y3-5, y3+7, ecc. Ciò implica che l'inversione non è unica poiché la costante non viene rilevata durante l'operazione.
Quindi in generale, 3Y2 è il differenziale di y3+C dove C è una costante. Per inciso, C è noto come il 'costante di integrazione'.
Lo scriviamo come:
∫ 3Y2.dx = y3 + C
Le tecniche di integrazione per un integrale indefinito, come la ricerca di tabelle o l'integrazione con Risch, possono aggiungere nuove discontinuità durante il processo di integrazione. Queste nuove discontinuità appaiono perché gli anti-derivati possono richiedere l'introduzione di logaritmi complessi.
I logaritmi complessi hanno una discontinuità di salto quando l'argomento attraversa l'asse reale negativo e gli algoritmi di integrazione a volte non riescono a trovare una rappresentazione in cui questi salti si annullano.
Se l'integrale definito viene valutato calcolando prima un integrale indefinito e poi sostituendo i limiti di integrazione nel risultato, dobbiamo essere consapevoli che un'integrazione indefinita potrebbe produrre discontinuità. Se lo fa, in aggiunta, dobbiamo indagare sulle discontinuità nell'intervallo di integrazione.
